Kommutativer Ring/Spektrum/Noethersches Schema/Aufgabe/Lösung

Es ist klar, dass ein noetherscher Ring zu einem noetherschen Schema führt. Es sei also ${}X$ noethersch und sei eine endliche affine Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

mit ${}U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$ mit noetherschen Ringen ${}R_{i}$ gegeben. Jedes ${}U_{i}$ können wir als

${}U_{i}=\bigcup _{j\in J_{i}}D(f_{j})\,$

schreiben mit ${}J_{i}$ endlich (da ${}U_{i}$ als affines Schema quasikompakt ist) und mit ${}f_{j}\in R$. Mit ${}\rho (f_{j})\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ist ${}D(f_{j})=D(\rho (f_{j}))$. Somit ist der globale Schnittring zu ${}D(f_{j})$ gleich ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})_{f}$ und damit als Nenneraufnahme eines noetherschen Ringes wieder noethersch. Wir können also davon ausgehen, dass eine affine Überdeckung der Form ${}X=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ mit ${}I$ endlich und mit ${}R_{f_{i}}$ noethersch vorliegt. Dann folgt die Aussage aus

Aufgabe.

Zur gelösten Aufgabe