Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ mit ${}f_{i}\in R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$ mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale ${}{\mathfrak {a}}R_{f_{i}}$ endlich erzeugt

sind. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt ist.

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