Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in ${}R/{\mathfrak {a}}$ entsprechen über ${}{\mathfrak {p}}\mapsto q^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}$ den Primidealen von ${}R$, die ${}{\mathfrak {a}}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$, wenn

${}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}=q^{-1}({\mathfrak {b}})\subseteq {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}\,$

gilt. Also ist das Bild von ${}V({\mathfrak {b}})$ gleich ${}V({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})$ und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe.
(3). Da für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und ein Element ${}f\in R$ die Beziehung ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ zum multiplikativen System ${}{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ${}D(f)$ ist. Das gleiche Argument, angewendet auf ${}g\in R$ bzw. ${}{\frac {g}{1}}\in R_{f}$ zeigt, dass das Bild von ${}D(g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}$ gleich ${}D(fg)$ und damit offen ist.

Zur bewiesenen Aussage