Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in entsprechen über den Primidealen von , die enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal und einem Primideal ist genau dann, wenn

gilt. Also ist das Bild von gleich und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe.
(3). Da für ein Primideal und ein Element die Beziehung genau dann gilt, wenn zum multiplikativen System disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ist. Das gleiche Argument, angewendet auf bzw. zeigt, dass das Bild von gleich und damit offen ist.

Zur bewiesenen Aussage