Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen  ${}{\mathfrak {p}}\notin D(T)$  an. Dann ist  ${}T\subseteq {\mathfrak {p}}$  und somit gilt

${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} \left({\mathfrak {a}}\right)\subseteq {\mathfrak {p}}\,,$

da ein Primideal ein Radikalideal ist. Daher ist auch

 ${}{\mathfrak {p}}\notin D(\operatorname {rad} \left({\mathfrak {a}}\right))$. 
(2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt.
(4). Wenn ${}{\mathfrak {a}}$ nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$,  also  ${}{\mathfrak {m}}\notin D({\mathfrak {a}})$. 
(5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei  ${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {rad} \left({\mathfrak {b}}\right)$  vorausgesetzt. Dann gibt es nach Aufgabe ein  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  mit  ${}f^{n}\notin {\mathfrak {b}}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann gibt es auch ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {b}}$  mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$.  Also ist  ${}{\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$  und  ${}{\mathfrak {p}}\notin D({\mathfrak {b}})$. 
(6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale.
(7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist  ${}V({\mathfrak {a}})=X$  für ein solches Ideal. Wenn dagegen ${}{\mathfrak {a}}$ ein nicht nilpotentes Element ${}f$ enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$,  also ist  ${}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq D({\mathfrak {a}})$. 
(8). Dies folgt direkt aus  ${}D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$. 
(9) folgt aus und (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage