Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Die Inklusion ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen an. Dann ist und somit gilt

da ein Primideal ein Radikalideal ist. Daher ist auch .

(2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt.
(4). Wenn nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal , also .
(5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei vorausgesetzt. Dann gibt es ein mit für alle . Dann gibt es auch ein Primideal mit . Also ist und .
(6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale.
(7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist für ein solches Ideal. Wenn dagegen ein nicht nilpotentes Element enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal mit , also ist .
(8). Dies folgt direkt aus .
(9) folgt aus und (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage