Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Zuordnung

   $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} \left(S\right)\longrightarrow \operatorname {Spek} \left(R\right),\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}):=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}),$

   ist (wohldefiniert und) stetig.

2. Es ist  ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D({\mathfrak {a}}))=D({\mathfrak {a}}S)$  für jedes Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. 
3. Für einen weiteren Ringhomomorphismus

   $\psi \colon S\longrightarrow T$

   gilt  ${}(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen