Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal  $𝔮\in \mathrm{Spek}\left(S\right)$  ist  ${\phi }^{\ast }(𝔮)\in V(𝔞)$  genau dann, wenn  $𝔞\subseteq {\phi }^{-1}(𝔮)$  ist. Dies ist äquivalent zu  $\phi (𝔞)\subseteq 𝔮$  und ebenso zu  $𝔞S\subseteq 𝔮$.  (3) ist klar.

Zur bewiesenen Aussage