Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$  ist  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$  ist. Dies ist äquivalent zu  ${}\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$  und ebenso zu  ${}{\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$.  (3) ist klar.

Zur bewiesenen Aussage