Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann leer, wenn ${}{\mathfrak {q}}S\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\neq \emptyset$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen