Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über , der Fall ist trivial und der Fall ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal , das (als Primideal) minimal über

ist. Insbesondere ist das einzige Primoberideal von . Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens ist. Sei

eine Primidealkette. Es sei so gewählt, dass kein minimales Primideal über , aber ein minimales Primideal über ist. Dabei ist zwischen und . Wir betrachten die Situation modulo . Das Primideal ist in ein minimales Primoberideal zu . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt in diesem Ring die Höhe (die Höhe ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ein minimales Primoberideal

Da minimal über ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten derart, dass für alle gilt. Wir schreiben dies für als mit . Wir betrachten das Ideal

Dabei muss ein minimales Primoberideal sein, da ein minimales Primoberideal zu ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von höchstens und somit ist die Höhe von höchstens .

Zur bewiesenen Aussage