Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass für kein ${}\delta >0$ die Beziehung ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$ für alle ${}x\in T$ erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Paar ${}x_{n},y_{n}\in T$ mit ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$, aber mit ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$. Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge ${}(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist ${}N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein ${}x\in T$ konvergiert. Die entsprechende Teilfolge ${}(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen ${}(f(x_{n}))_{n\in N}$ und ${}(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen ${}f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$ ist.

Zur bewiesenen Aussage