Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt

Approximationssatz von Weierstrass (mehrere Variablen)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein reelles Polynom ${}p$ in ${}n$ Variablen mit

${}\vert {f(z)-p(z)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}z\in T$.

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist dicht in ${}C(T,\mathbb {R} )$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen