Kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit/Exakte und geschlossene Differentialform/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

1. Eine exakte Differentialform kann man als

   ${}\omega =df\,$

   mit einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   ansetzen. Wenn ${}f$ konstant ist, ist ${}df=0$ und die Aussage ist klar. Sei ${}f$ also nicht konstant. Nach Fakt nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten ${}P$ bzw. ${}Q$. Nach Aufgabe ist dann

   ${}(df)_{P}=(df)_{Q}=0\,.$

2. Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre ${}S^{1}$ die Differentialform

   ${}\omega (x,y)=ydx-xdy\,.$

   Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da ${}\left(y,\,-x\right)$ tangential zum Ortsvektor ${}(x,y)$ ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension ${}1$ sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht ${}x$ und ${}y$ gleichzeitig ${}0$ sind.

Zur gelösten Aufgabe