Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt

Es sei ${}X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in X$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in X.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen