Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Eingeschränkter Schnittring/Quotientenkörper/Aufgabe/Lösung

Es genügt, die Aussage für einen einzigen Punkt ${}P$ zu zeigen, da die natürlichen Inklusionen

${}R=R_{P}\subseteq R_{D}\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,$

vorliegen. Nach dem Beweis zu Fakt und Fakt gibt es eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

die ${}P$ auf ${}\infty$ und alle anderen Punkte auf ${}{\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}$ abbildet. Dabei ist nach Fakt ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ eine endliche Körpererweiterung. Auf der projektiven Geraden ist

${}{\mathbb {C} }[t]=\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\cap {\mathbb {C} }(t)\,,$

da eine rationale Funktion genau dann ein Polynom ist, wenn sie innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt. Wegen

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\right)}\subseteq \Gamma {\left(X\setminus \varphi ^{-1}(\{\infty \}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P\}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

gehört ${}t$ zu ${}R$. Es sei

${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(t)[f]/Q(f)\,$

eine endliche Beschreibung von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ mit einem Erzeuger ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ und einem normierten Minimalpolynom ${}Q=f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}\in {\mathbb {C} }(t)[Z]$. Es sei ${}b\in {\mathbb {C} }[t]$ der Hauptnenner der Koeffizientenfunktionen ${}a_{j}\in {\mathbb {C} }(t)$. Wir multiplizieren die Gleichung

${}f^{d}+a_{d-1}f^{d-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$

mit ${}g^{d}$ und erhalten eine entsprechende Gleichung für ${}h=gf$, wobei die Koeffizientenfunktionen jetzt zu ${}{\mathbb {C} }[t]$ gehören, sagen wir

${}h^{d}+b_{d-1}h^{d-1}+\cdots +b_{1}h+b_{0}=0\,.$

Für jeden Punkt ${}Q\in X$, ${}Q\neq P$, ist somit

${}h(Q)^{d}+b_{d-1}(Q)h(Q)^{d-1}+\cdots +b_{1}(Q)h(Q)+b_{0}(Q)=0\,,$

was zeigt, dass ${}h(Q)$ zu ${}{\mathbb {C} }$ gehört und nicht ${}\infty$ ist. Also ist ${}h\in \Gamma {\left(X\setminus \{P\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und somit ${}h\in R$. Damit gehört ${}f$ zum Quotientenkörper von ${}R$ und daher ist

${}Q(R)=\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.

Zur gelösten Aufgabe