Kompakte riemannsche Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Grad kanonischer Divisor/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche surjektive holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$

Dabei gilt nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Beziehung

${}{\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(K_{X})&=2g(X)-2\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(\operatorname {Grad} \,(K_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}))+\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$

Es genügt also zu zeigen, dass für die Euler-Poincaré-Charakteristik eine entsprechende Formel gilt. Es sei ${}S\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Menge der Verzweigungsbildpunkte von ${}\varphi$. Wir wählen eine Triangulierung von ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, in der diese Punkte als Eckpunkte auftreten. Ferner können wir durch eine Verfeinerung erreichen. dass in jedem Dreieck höchstens ein Eckpunkt ein Verzweigungsbildpunkt ist. Es sei

${}b=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,$

die Blätterzahl von ${}\varphi$. Zu jedem Dreieck ${}D\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ der Triangulierung gibt es ${}b$ eindeutige (und zueinander disjunkte) Liftungen des Dreieckes ohne die Eckpunkte. Aufgrund der Eigentlichkeit der Abbildung besitzen auch die Eckpunkte bei einer gegebenen Liftung des Dreieckes eine zugehörige Liftung, wobei allerdings unterschiedliche geliftete Dreiecke einen gleichen Eckpunkt haben können. Diese geliftete Triangulierung ist eine Triangulierung von ${}X$: Wenn nämlich zwei Dreiecke zwei gemeinsame Eckpunkte haben, so gehört schon die zugehörige Kante zu beiden Dreiecken. Die beiden Eckpunkte bilden auf verschiedene Punkte ab, einer der beiden Punkte ist dann nach Konstruktion der Triangulierung auf der projektiven Geraden kein Verzweigungspunkt. Die beiden relevanten Kanten müssen auf die gleiche Kante unten abbilden. Wegen der eindeutigen Liftung im unverzweigten Punkt folgt, dass die Kanten oben auch übereinstimmen.

Es sei ${}e$ die Anzahl der Ecken, ${}k$ die Anzahl der Kanten und ${}f$ die Anzahl der Dreiecke unten. Dabei gilt ${}e-k+f=2$ aufgrund der tetrahedrischen Triangulierung der Sphäre. In der gelifteten Triangulierung ist die Anzahl der Kanten gleich ${}bk$ und die Anzahl der gelifteten Dreiecke gleich ${}bf$. Für jeden Punkt ${}Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist

${}\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}=b\,.$

D.h. die Anzahl der Urbildpunkte zu ${}Q$ ist ${}b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}$ mit ${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}-1$. Damit ist die Anzahl der Eckpunkte der gelifteten Triangulierung gleich

${}\sum _{Q{\text{ Eckpunkt unten}}}{\left(b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}\right)}=eb-\sum _{P\in X}R_{P}=eb-\operatorname {Grad} \,(R)\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\chi (X)&=e'-k'+f'\\&=eb-\operatorname {Grad} \,(R)-kb+fb\\&=b(e-k+f)-\operatorname {Grad} \,(R)\\&=2b-\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage