Kompaktheitssatz von Riesz

Einführung

Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein w:de:Lehrsatz Lehrsatz, welcher dem [[w:de:Teilgebiete_der_Mathematik|mathematischen Teilgebiet]| der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine w:de:Charakterisierung Charakterisierung derjenigen normierten $\mathbb {K}$ -Vektorräume ( $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ), welche endlich dimensional sind.^[1]^[2]

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:^[1]

Kompaktheitssatz von Riesz

Ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ ein kompakter topologischer Unterraum ist.

B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ kompakt}}\quad \Longleftrightarrow \quad dim(X)=n<\infty

Beweis

Die Äquivalenzaussage wird durch zwei Implikationen nachgewiesen (Beweis Teil 1 und 2).

Beweis Teil 1

( " $\Rightarrow$ ") Wenn ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ endlichdimensional mit $dim(X)=n<\infty$ ist, dann kann man einen linearen Homöomorphismus $\Phi$ von $X$ nach $\mathbb {K} ^{n}$ definieren. In $\mathbb {K} ^{n}$ sind beschränkte und abgeschlossene Mengen kompakt (Bolzano-Weierstraß verallgemeinert auf den $\mathbb {K} ^{n}$ ).

Beweis Teil 1.1

Durch die Nutzung der Stetigkeit von $\Phi ^{-1}$ sind offene Überdeckungen der abgeschlossenen Einheitskugel in $X$ auch offene Überdeckungen vom Bild der Einheitskugel in $\mathbb {K} ^{n}$ . Das Bild der Einheitskugel im $\mathbb {K} ^{n}$ ist abgeschlossen und beschränkt im $\mathbb {K} ^{n}$ und daher kompakt.

Beweis Teil 1.2

Die existierende endliche offene Teilüberdeckung vom Bild erzeugt mit $\Phi ^{-1}$ auch eine endliche Teilüberdeckung von der Einheitskugel. Da die offene Überdeckung der Einheitskugel beliebig gewählt wurde ist die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ kompakt. Im Beweis geht ein, dass bei stetigen Abbildungen $f:D\rightarrow W$ Urbilder offener Mengen in W wieder offen in D sind.

Beweis Teil 2

( " $\Leftarrow$ ") Für die Umkehrung beweisen wir die Kontraposition von

B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }{\mbox{ kompakt}}\quad \Rightarrow \quad dim(X)=n<\infty

also Aussage:

{\textstyle dim(X)=\infty \quad \Rightarrow \quad B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ nicht kompakt}}}

Beweis Teil 2.1

Die Voraussetzung $dim(X)=\infty$ geht in den Beweis der Kontroposition ein, indem eine unendliche Folge $(U_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ von abgeschlossenen Untervektorräumen $U_{k}\subset X$ . Zu dieser Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen konstruiert man mit dem Lemma von Riesz eine Folge von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft $\|z_{k}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ .

Beweis Teil 2.2

Man definiert die Folge induktiv. Da $X$ unendlichdimensional ist, gibt es mindestens einen von Nullvektor verschiedenes Element in $X$ . Diese Element normieren auf die Länge 1 und wählen den von $z_{1}\in X$ aufgespannten Untervektorraum als $U_{1}:=Span(z_{1})$ mit $\|z_{1}\|=1$ . Da liegt $z_{1}$ auf dem Rand der Einheitskugel in $X$ .

Beweis Teil 2.3

Zu diesem abgeschlossenen $U_{1}$ gibt es nach dem Lemma von Riesz ein $z_{2}\in X$ , mit $\|z_{2}\|=1$ und $dist(z_{2},U_{1})>\delta :={\frac {1}{2}}$ . Setze nun als $U_{2}:=Span(z_{1},z_{2})$ .

Beweis Teil 2.4

Wir setzen die Konstruktion der Folge in $X$ induktiv fort. Ist nun $U_{k}:=Span(z_{1},\ldots z_{k})$ gegeben, wählt man mit dem Lemma von Riesz ein $z_{k+1}\in X$ , mit $\|z_{k+1}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$ .

Beweis Teil 2.5

Damit haben wir eine Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}:=\{v\in X\ :\ \|v\|\leq 1\}$ konstruiert, mit

z_{1},\ldots z_{k}\in U_{k}\cup {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}

und

\|z_{k}-z_{m}\|\geq \delta

für alle

m<k

. Nach Konstruktion kann diese Folge keine konvergente Teilfolge besitzen.

Beweis Teil 2.6

Denn falls eine konvergente Teilfolge $(z_{k_{i}})_{i\in \mathbb {N} }$ von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ existiert, ist diese konvergente Folge auch eine Cauchyfolge und es gilt immer noch $dist(z_{k_{i}},U_{k_{i}})>\delta :={\frac {1}{2}}$ und $\|z_{k_{i}}-z_{m}\|\geq \delta$ . Dies widerspricht aber den Eigenschaften einer Cauchyfolge z.B. mit $\varepsilon ={\frac {1}{4}}$ .

q.e.d.

Aufgabe

Notieren Sie die Definition der Cauchy-Eigenschaft für Folgen und erläutern Sie kurz, warum der Beweisteil 2.6 die Negation dieser Cauchy-Eigenschaft liefert.
Betrachten Sie den Vektorraum der stetigen Funktionen $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit der folgenden Norm:

\|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx

Konstruieren Sie eine Funktionenfolge

(f_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }

, die die Eigenschaften vom Beweiteil 2 erfüllt, d.h.

\|f_{k}-f_{m}\|\geq \delta ={\frac {1}{2}}

und

\|f_{k}\|=1

für alle

k,m\in \mathbb {N}

und

k\not =m

.

Alternative Formulierung

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:^[2]

Ein normierter Vektorraum $X$ ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in $X$ jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.^[1]

Schärfere Version

Zum Rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist^[3]

Separierter topologische Räume

Sei $X$ ein separierter topologischer Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) $X$ ist ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$ -Vektorraum.
(2) $X$ ist homöomorph zu einem $\mathbb {R} ^{n}\;\;(n\in \mathbb {N} _{0})$ .
(3) $X$ ist lokalkompakt.

Anmerkung

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.^[4]

Literatur

Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701).
Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3.

Einzelnachweise und Anmerkungen

↑ ^a ^b ^c Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41
↑ ^a ^b Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.
↑ Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.
↑ Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701)

Siehe auch

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[Appell-Väth-1] Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41

[Lexikon-2] Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.

[Führer-3] Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.

[4] Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701)

[1]

[2]

[3]

[4]