Kompaktheitssatz von Riesz

Einführung

Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein w:de:Lehrsatz Lehrsatz, welcher dem [[w:de:Teilgebiete_der_Mathematik|mathematischen Teilgebiet]| der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine w:de:Charakterisierung Charakterisierung derjenigen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$), welche endlichdimensional sind.

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Kompaktheitssatz von Riesz

Ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ ein kompakter topologischer Unterraum ist.

$B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ kompakt}}\quad \Longleftrightarrow \quad dim(X)=n<\infty$

Beweis

Die Äquivalenzaussage wird durch zwei Implikationen nachgewiesen (Beweis Teil 1 und 2).

Beweis Teil 1

( "$\Rightarrow$") Wenn ein normierter Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ endlichdimensional mit $dim(X)=n<\infty$ ist, dann kann man einen linearen Homöomorphismus $\Phi$ von $X$ nach $\mathbb {K} ^{n}$ definieren. In $\mathbb {K} ^{n}$ sind beschränkte und abgeschlossene Mengen kompakt (Bolzano-Weierstraß verallgemeinert auf den $\mathbb {K} ^{n}$).

Beweis Teil 1.1

Durch die Nutzung der Stetigkeit von $\Phi ^{-1}$ sind offene Überdeckungen der abgeschlossenen Einheitskugel in $X$ auch offene Überdeckungen vom Bild der Einheitskugel in $\mathbb {K} ^{n}$. Das Bild der Einheitskugel im $\mathbb {K} ^{n}$ ist abgeschlossen und beschränkt im $\mathbb {K} ^{n}$ und daher kompakt.

Beweis Teil 1.2

Die existierende endliche offene Teilüberdeckung vom Bild erzeugt mit $\Phi ^{-1}$ auch eine endliche Teilüberdeckung von der Einheitskugel. Da die offene Überdeckung der Einheitskugel beliebig gewählt wurde ist die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ kompakt. Im Beweis geht ein, dass bei stetigen Abbildungen $f:D\rightarrow W$ Urbilder offener Mengen in W wieder offen in D sind.

Beweis Teil 2

( "$\Leftarrow$") Für die Umkehrung beweisen wir die Kontraposition von

$B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }{\mbox{ kompakt}}\quad \Rightarrow \quad dim(X)=n<\infty$

also Aussage:

${\textstyle dim(X)=\infty \quad \Rightarrow \quad B_{1}^{\Vert \cdot \Vert }(0_{X}){\mbox{ nicht kompakt}}}$

Beweis Teil 2.1

Die Voraussetzung $dim(X)=\infty$ geht in den Beweis der Kontroposition ein, indem eine unendliche Folge $(U_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ von abgeschlossenen Untervektorräumen $U_{k}\subset X$. Zu dieser Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen konstruiert man mit dem Lemma von Riesz eine Folge von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft $\|z_{k}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$.

Beweis Teil 2.2

Man definiert die Folge induktiv. Da $X$ unendlichdimensional ist, gibt es mindestens einen von Nullvektor verschiedenes Element in $X$. Diese Element normieren auf die Länge 1 und wählen den von $z_{1}\in X$ aufgespannten Untervektorraum als $U_{1}:=Span(z_{1})$ mit $\|z_{1}\|=1$. Da liegt $z_{1}$ auf dem Rand der Einheitskugel in $X$.

Beweis Teil 2.3

Zu diesem abgeschlossenen $U_{1}$ gibt es nach dem Lemma von Riesz ein $z_{2}\in X$, mit $\|z_{2}\|=1$ und $dist(z_{2},U_{1})>\delta :={\frac {1}{2}}$. Setze nun als $U_{2}:=Span(z_{1},z_{2})$.

Beweis Teil 2.4

Wir setzen die Konstruktion der Folge in $X$ induktiv fort. Ist nun $U_{k}:=Span(z_{1},\ldots z_{k})$ gegeben, wählt man mit dem Lemma von Riesz ein $z_{k+1}\in X$, mit $\|z_{k+1}\|=1$ und $dist(z_{k+1},U_{k})>\delta :={\frac {1}{2}}$.

Beweis Teil 2.5

Damit haben wir eine Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}:=\{v\in X\ :\ \|v\|\leq 1\}$ konstruiert, mit

$z_{1},\ldots z_{k}\in U_{k}\cup {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|}(0_{X})}}$ und $\|z_{k}-z_{m}\|\geq \delta$ für alle $m<k$. Nach Konstruktion kann diese Folge keine konvergente Teilfolge besitzen.

Beweis Teil 2.6

Denn falls eine konvergente Teilfolge $(z_{k_{i}})_{i\in \mathbb {N} }$ von $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ existiert, ist diese konvergente Folge auch eine Cauchyfolge und es gilt immer noch $dist(z_{k_{i}},U_{k_{i}})>\delta :={\frac {1}{2}}$ und $\|z_{k_{i}}-z_{m}\|\geq \delta$ . Dies widerspricht aber den Eigenschaften einer Cauchyfolge z.B. mit $\varepsilon ={\frac {1}{4}}$.

$q.e.d.$

Aufgabe

• Notieren Sie die Definition der Cauchy-Eigenschaft für Folgen und erläutern Sie kurz, warum der Beweisteil 2.6 die Negation dieser Cauchy-Eigenschaft liefert.
• Betrachten Sie den Vektorraum der stetigen Funktionen $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit der folgenden Norm:

$\|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

Konstruieren Sie eine Funktionenfolge $(f_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$, die die Eigenschaften vom Beweiteil 2 erfüllt, d.h. $\|f_{k}-f_{m}\|\geq \delta ={\frac {1}{2}}$ und $\|f_{k}\|=1$ für alle $k,m\in \mathbb {N}$ und $k\not =m$.

Alternative Formulierung

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:

Ein normierter Vektorraum $X$ ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in $X$ jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.

Schärfere Version

Zum Rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist

Separierter topologische Räume

Sei $X$ ein separierter topologischer Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• (1) $X$ ist ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum.
• (2) $X$ ist homöomorph zu einem $\mathbb {R} ^{n}\;\;(n\in \mathbb {N} _{0})$.
• (3) $X$ ist lokalkompakt.

Anmerkung

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.

Literatur

• Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701).
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3.

Siehe auch

• Kompaktheit
• Lemma von Riesz

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