Kompaktheitssatz von Riesz

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Einführung[Bearbeiten]

Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine Charakterisierung derjenigen normierten -Vektorräume ( oder ), welche endlichdimensional sind.[1][2]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[1]

Ein normierter Vektorraum ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Beweis[Bearbeiten]

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Wenn ein normierter Vektorraum endlichdimensional mit ist, dann kann man einen linearen Homöomorphismus von nach definieren. In sind beschränkte und abgeschlossene Mengen kompakt (Bolzano-Weierstraß verallgemeinert auf den ). Durch die Nutzung der Stetigkeit von sind offene Überdeckungen der abgeschlossenen Einheitskugel in auch offene Überdeckungen vom Bild der Einheitskugel in . Das Bild der Einheitskugel im ist abgeschlossen und beschränkt im und daher kompakt. Die existierende endliche offene Teilüberdeckung vom Bild erzeugt mit auch eine endliche Teilüberdeckung von der Einheitskugel. Da die offene Überdeckung der Einheitskugel beliebig gewählt wurde ist die abgeschlossene Einheitskugel in kompakt. Im Beweis geht ein, dass bei stetigen Abbildungen Urbilder offener Mengen in W wieder offen in D sind.

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Für die Umkehrung beweisen wir die Kontraposition, d.h. #

Die Voraussetzung geht in den Beweis der Kontroposition ein, indem eine unendliche Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen . Zu dieser Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen konstruiert man mit dem Lemma von Riesz eine Folge von mit der Eigenschaft und für alle . Als . mit wird beliebig auf dem Rand der Einheitskugel in gewählt. Zu diesem abgeschlossenen gibt es nach dem Lemma von Riesz ein und . Setze nun als . Damit haben wir eine Folge in der Einheitskugel , die nach Konstruktion keine konvergente Teilfolge besitzt. Denn falls eine konvergente Teilfolge von existiert, ist diese Folge auch eine Cauchyfolge und es gilt immer noch . Dies weiderspricht aber den Eigenschaften einer Cauchyfolge z.B. mit .

Alternative Formulierung[Bearbeiten]

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:[2]

Ein normierter Vektorraum ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.[1]

Schärfere Version[Bearbeiten]

Zum rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist:[3]

Sei ein separierter topologischer Vektorraum.
Dann sind gleichwertig:
(a) ist endlichdimensional.
(b) ist homöomorph zu einem .
(c) ist lokalkompakt.


Anmerkung[Bearbeiten]

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.[4]

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701).
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. 1,0 1,1 1,2 Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41
  2. 2,0 2,1 Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.
  3. Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701)

Seiten-Information[Bearbeiten]