Lemma von Riesz

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Aussage[Bearbeiten]

Gegeben seien ein normierter Raum , ein abgeschlossener echter Unterraum von und eine reelle Zahl .

Dann existiert ein normiertes Element , so dass gilt [1] [2]:

für alle .

Bemerkung[Bearbeiten]

Mit der obigen Aussage des Satzes gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:

.

Beweis[Bearbeiten]

(1) Definition von [Bearbeiten]

Da ein echter Untervektorraum von ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit

. Der Abstand zu muss positiv sein, da U nach Vorraussetzung abgeschlossen ist.

Sei ein vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein mit

Man definiert nun wie folgt:

mit .

(2) Ungleichungskette für [Bearbeiten]

Damit ergibt sich folgende Ungleichung:

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), Hilfssatz 10.2
  2. Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), Kap. I, Lemma auf Seite 2

Seiten-Information[Bearbeiten]