Lemma von Riesz

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Lemma von Riesz[Bearbeiten]

Gegeben seien ein normierter Raum , ein abgeschlossener echter Unterraum von und eine reelle Zahl . Dann existiert ein normiertes Element , so dass gilt [1] [2]:

für alle .

Bemerkung - Infimum[Bearbeiten]

Mit der obigen Aussage im Lemma gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:

.

Das Lemma wird später für im Kurs für den Kompaktheitssatz von Riesz verwendet.

Bemerkung - Konvergente Teilfolgen[Bearbeiten]

In endlich dimensionalen normierten Räumen sind abgeschlossenen und beschränkte Mengen kompakt und Folgen in abgeschlossenen und beschränkten Mengen besitzen konvergente Teilfolgen. Im unendlichdimensionalen Vektorräumen gilt das nicht mehr. Denn dort kann man mit dem Lemma von Riesz ein Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel des normierten Raumes konstruieren, die keine konvergente Teilfolgen besitzt.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis gliedert sich in die folgenden zwei Teilschritte:

  • (1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum mit der Definition von
  • (2) Abschätzungen in einer Ungleichungskette

(1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum[Bearbeiten]

Da ein echter Untervektorraum von ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit

(2) Abstands von Elementen zum Untervektorraum[Bearbeiten]

Der Abstand zu muss positiv sein, da U nach Vorraussetzung abgeschlossen ist. Sei ein vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein mit

Man definiert nun wie folgt:

mit .

(3) Ungleichungskette[Bearbeiten]

Damit ergibt sich folgende Ungleichung:

q.e.d.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), Hilfssatz 10.2
  2. Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), Kap. I, Lemma auf Seite 2

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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