Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Homotopieinvarianz/Fakt

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann erfüllt die Windungszahl folgende Eigenschaften.

1. Homotope Wege (innerhalb von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$) haben die gleiche Windungszahl.
2. Wenn

   $\Psi \colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{P\})\longrightarrow \mathbb {Z}$

   ein Gruppenisomorphismus der Fundamentalgruppe mit ${}\mathbb {Z}$ ist, bei dem die Standardumrundung

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,t\longmapsto P+e^{{\mathrm {i} }t},$

   auf ${}1$ abgebildet wird, dann ist

   ${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\Psi ([\gamma ])\,.$

   Insbesondere ist die Windungszahl ganzzahlig.

3. Es sei ${}{\tilde {\gamma }}$ eine Liftung von ${}\gamma$ zur (verschobenen) Exponentialfunktion

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,z\longmapsto P+\exp z.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left({\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen