Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Homotopieinvarianz/Fakt/Beweis

Beweis

1. folgt aus Fakt.
2. Die Windungszahl der angegebenen Umrundung ist gleich ${}1$. Deshalb und wegen (1) muss der Windungszahlhomomorphismus mit der Abbildung aus (2) übereinstimmen.
3. Sei ${}P=0$. Der Weg

   $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto e^{t{\mathrm {i} }},$

   besitzt die Liftung

   ${\tilde {\gamma }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t{\mathrm {i} }.$

   Daher ist der Ausdruck in (3) für diesen Weg gleich ${}1$. Diese Aussage folgt, da der Ausdruck in (3) nach Fakt homotopieinvariant und einen Gruppenhomomorphismus definiert.

Zur bewiesenen Aussage