Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Beispiel

Die Abbildung

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt  ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$  und einem Punkt  ${}w\in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\exp w=z$  gibt es nach Fakt eine offene Umgebung  ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }$,  die homöomorph auf  ${}U:=\exp \left(V\right)$  abbildet. Durch Verkleinern von ${}V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen ${}V$ umd ${}V+2\pi k{\mathrm {i} }$ für  ${}k\neq 0$  disjunkt sind. Dann ist

${}\exp ^{-1}(U)\cong \biguplus _{k\in \mathbb {Z} }{\left(V+2k\pi {\mathrm {i} }\right)}\cong U\times \mathbb {Z} \,.$