Komplexe Exponentalfunktion/Überlagerung/Beispiel

Die Abbildung

$\exp :ℂ⟶{ℂ}^{\times },w⟼\exp w,$

ist eine Überlagerung. Zu einem Punkt  $z\in {ℂ}^{\times }$  und einem Punkt  $w\in ℂ$  mit  $\exp w=z$  gibt es nach Fakt eine offene Umgebung  $w\in V\subseteq ℂ$,  die homöomorph auf  $U:=\exp \left(V\right)$  abbildet. Durch Verkleinern von $V$ können wir annehmen, dass die offenen Mengen $V$ und $V+2\pi k\mathrm{i}$ für  $k\ne 0$  disjunkt sind. Dann ist

${\exp }^{-1}(U)\cong \underset{k\in \mathbb{Z}}{⨄}(V+2k\pi \mathrm{i})\cong U\times \mathbb{Z}.$