Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Ableitungsform/Zerlegung/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei ${}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ und es sei

${}df=d^{h}f+d^{a}f\,$

die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform ${}df\in {\mathcal {E}}^{(1)}(M)={\mathcal {E}}^{(1,0)}(M)\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}(M)$. Es sei ${}U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$.

Dann gelten auf ${}U$ die Identitäten

${}d^{h}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}dz_{j}\,$

und

${}d^{a}f=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{j}}}d{\overline {z}}_{j}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen