Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitung/Regeln/Aufgabe/Lösung

Die Aussagen sind lokal in ${}M$, daher kann man dierekt von einer offenen Menge ${}M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ mit komplexen Koordinaten ${}z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}$ ausgehen. Mit diesen Bezeichnungen ist

${}df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\,$

mit partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial {x_{j}}}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial {y_{j}}}}$.

1. Folgt aus der Additivität der partiellen Ableitungen.
2. Folgt aus der Verträglichkeit der partiellen Ableitungen mit skalarer Multiplikation (oder aus (3)).
3. Nach der Vorbemerkung ist

   ${}{\begin{aligned}d(fg)&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial fg}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial fg}{\partial y_{j}}}dy_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}+f{\frac {\partial g}{\partial {x_{j}}}}\right)}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial {y_{j}}}}+f{\frac {\partial g}{\partial {y_{j}}}}\right)}dy_{j}\\&=f{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}+g{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{j}}}}dx_{j}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{j}}}dy_{j}\right)}\\&=fdg+gdf,\end{aligned}}$

   wobei wir im zweiten Schritt die Produktregel für partielle Ableitungen für komplexwertige Funktionen verwendet haben (siehe Aufgabe).

Zur gelösten Aufgabe