Komplexe Mannigfaltigkeit/Reell-differenzierbar/Ableitung/Regeln/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$, ${}f\longmapsto df$ die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige ${}1$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist ${}d(f+g)=df+dg$.
2. Es ist ${}daf=adf$ für ${}a\in {\mathbb {C} }$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${}dfg=fdg+gdf\,.$

4. Für ${}f$ nullstellenfrei ist

   ${}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$

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