Die
Division mit Rest
liefert eine eindeutige Darstellung
-
mit
.
Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist.
Wir führen Induktion über den Grad
des Nennerpolynoms. Bei
ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , sodass wir
-
schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen
-
an. Dies führt auf
-
aus der wir
und
bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für
gelten soll, muss
-
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
-
mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach
Fakt
durch teilen kann, also
-
erhält. Dadurch ist
eindeutig festgelegt. Der Grad von
ist kleiner als der Grad von
und daher ist der Grad von
auch kleiner als der Grad von
. Daher können wir auf
die Induktionsvoraussetzung anwenden.