Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $s\in {ℝ}_{+}$, $s<R$, vorgegeben und sei $r$ mit $s<r<R$. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|r^n$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen  $n\le {\left(\frac{r}{s}\right)}^n$  für $n$ hinreichend groß ist

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|s^{n-1}& =\sum _{n=1}^{N}n|a_n|s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|s^{n-1}\\ & \le \sum _{n=1}^{N}n|a_n|s^{n-1}+\frac{1}{s}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|r^n,\end{array}$

sodass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in $B(a,s)$ und somit in $U(a,R)$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe).
Die Potenzreihe

$\rho (z)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^{n-1}$

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

$f(z)=f(a)+a_1(z-a)+\rho (z)(z-a),$

dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung

$f^{\prime }(a)=a_1=\tilde{g}(a).$

Es sei nun  $b\in U(a,R)$.  Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,

$h(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(z-b{)}^n,$

deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei  $b_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(b-a{)}^{n-1}$  gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$)

$f^{\prime }(b)=\tilde{h}(b)=b_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(b-a{)}^{n-1}=\tilde{g}(b).$

Zur bewiesenen Aussage