Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei , , vorgegeben und sei  mit . Dann konvergiert gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen für hinreichend groß ist

so dass die Potenzreihe in und somit in konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von nicht größer als ist, siehe Aufgabe).
Die Potenzreihe

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Fakt stetige Funktion dar und besitzt in den Wert . Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

dass in linear approximierbar, also nach Fakt differenzierbar ist mit der Ableitung .
Sei nun . Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ,

deren dargestellte Funktion mit der durch dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von übereinstimmt, und wobei

gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf und die formale Potenzreihenableitung )


Zur bewiesenen Aussage