Beweis
Es sei
,
,
vorgegeben und sei
mit
.
Dann konvergiert
gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen
für
hinreichend groß ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2344af91722126777b3c2381c1854ca2c325c8f5)
so dass die Potenzreihe
in
und somit in
konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von
nicht größer als
ist, siehe
Aufgabe).
Die Potenzreihe
-
![{\displaystyle {}\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb282d5280ca9f88dfe37501e8ca0f9d8394f8ed)
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach
Fakt
stetige Funktion dar und besitzt in
den Wert
. Daher zeigt die Gleichung
(von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)
-
![{\displaystyle {}f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8432e7db04b801690ac3c00beaf4888e4c379ef)
dass
in
linear approximierbar, also nach
Fakt
differenzierbar ist mit der Ableitung
-
![{\displaystyle {}f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faddb38f0f06370e2187a732d534b3f73bdf7d4f)
Es sei nun
.
Nach dem
Entwicklungssatz
gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
,
-
![{\displaystyle {}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f817a0827b656f962181e69fe3219d8c35c61e50)
deren dargestellte Funktion mit der durch
dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von
übereinstimmt, und wobei
gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen
(angewendet auf
und die formale Potenzreihenableitung
)
-
![{\displaystyle {}f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32fea67b6df4a8a76032644ebd41aabd1d714e7)