Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die ${}t$-Norm von komplexen Potenzreihen die folgende Eigenschaften erfüllt. (dabei seien ${}F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}0$ und ${}t\in \mathbb {R} _{+}$).

1. Für den Konvergenzradius ${}R$ von ${}F$ gilt

   ${}R=\operatorname {sup} (t,\Vert {F}\Vert _{t}<\infty )\,.$

2. Es ist ${}\Vert {F}\Vert _{t}=0$ genau dann, wenn ${}F=0$ ist.
3. Es ist

   ${}\Vert {F+G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}+\Vert {G}\Vert _{t}\,.$

4. Für ${}w\in {\mathbb {C} }$ ist

   ${}\Vert {wF}\Vert _{t}=\vert {w}\vert \cdot \Vert {F}\Vert _{t}\,.$

5. Es ist

   ${}\Vert {F\cdot G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}\cdot \Vert {G}\Vert _{t}\,.$

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