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Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei vorgegeben. Nach Fakt gibt es ein mit für alle . Es sei groß genug, dass

gilt. Für alle und und gilt

Dabei gilt die linke Abschätzung, da die , in beiden Summen vorkommen und sich wegheben, und die mit in keiner der Summen vorkommen. Diese beiden Summen sind die Partialsummen der in Frage stehenden Reihen. Da diese Abschätzung für alle und alle gilt ergibt sich, dass die Partialsummen den gleichen Grenzwert besitzen. Die absolute Konvergenz folgt, indem man die Reihe durch ersetzt.