Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Beispiel

Es sei  $z=a+b\mathrm{i}$  eine komplexe Zahl. Dann hat die komplexe Zahl

$u=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma \sqrt{|z|+a}+\mathrm{i}\sqrt{|z|-a})$

mit dem Vorzeichen

$\sigma =\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }b\ge 0,\\ -1\text{ falls }b<0,\end{array}$

die Eigenschaft

$u^2=z.$

Insbesondere besitzt also $z$ zwei Quadratwurzeln, nämlich $u$ und $-u$, die bei  $z=0$  zusammenfallen.

Wir zeigen dies für den Fall

$b\ge 0.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}{u}^2& ={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{|z|+a}+\mathrm{i}\sqrt{|z|-a})\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}(|z|+a-(|z|-a)+2\mathrm{i}\sqrt{(|z|+a)(|z|-a)})\\ & =\frac{1}{2}(2a+2\mathrm{i}\sqrt{|z{|}^2-a^2})\\ & =\frac{1}{2}(2a+2\mathrm{i}\sqrt{b^2})\\ & =\frac{1}{2}(2a+2\mathrm{i}b)\\ & =a+b\mathrm{i}.\end{array}$