Komplexe Zahlen/Folgen/Reeller Bezug/Textabschnitt

Mit Hilfe des Betrages kann man für zwei komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2}\in {\mathbb {C} }$ den Abstand durch

${}d(z_{1},z_{2}):=\vert {z_{1}-z_{2}}\vert \,$

erklären. Dieser ist eine nichtnegative reelle Zahl. Mit diesem Abstandsbegriff lässt sich der Konvergenzbegriff für Folgen reeller Zahlen unmittelbar auf Folgen komplexer Zahlen verallgemeinern. Eine Folge komplexer Zahlen ${}z_{n}$ setzt sich aus zwei reellen Folgen zusammen: Jedes ${}z_{n}$ kann man als

${}z_{n}=x_{n}+{\mathrm {i} }y_{n}\,$

schreiben, wobei eben ${}x_{n}$ der Realteil und ${}y_{n}$ der Imaginärteil von ${}z_{n}$ ist. Dabei gilt die Beziehung, dass die komplexe Folge ${}z_{n}$ genau dann konvergiert, wenn die beiden reellen Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren. Für den Grenzwert gilt dabei

${}\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}+{\mathrm {i} }\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,,$

siehe Aufgabe.

Mit dieser Beziehung kann man viele Gesetzmäßigkeiten für komplexe Folgen direkt aus der entsprechenden reellen Situation erhalten. Wir erwähnen explizit die folgenden Rechenregeln.

Satz

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}{\mathbb {C} }$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})+(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n})\,.$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\cdot (\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n})\,.$

3. Für ${}c\in {\mathbb {C} }$ gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\,.$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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