Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktion/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet, sei ${}D\subseteq U$ eine diskrete Teilmenge und ${}f\colon U\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist eine meromorphe Funktion auf ${}U$.
2. Für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ ist die holomorphe Funktion ${}f{|}_{(U\setminus D)\cap V}$ meromorph auf ${}V$.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart, dass die holomorphen Funktionen ${}f{|}_{(U\setminus D)\cap V_{i}}$ meromorph sind auf ${}V_{i}$.

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