Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Biholomorph/Fakt/Beweis

Beweis

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist ${}{\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$, nach Fakt ist die Umkehrabbildung zur durch die Matrix gegebene gebrochen-lineare Funktion gleich der gebrochen-linearen Funktion zur inverse Matrix. Insbesondere gibt es also eine Umkehrabbildung von der gleichen Bauart, wobei die inverse Abbildung in ${}{\frac {a}{c}}$ nicht definiert ist. Allerdings müssen wir noch begründen, dass dieser Punkt nicht getroffen wird, damit die beiden Abbildungen außerhalb des jeweils einen Punktes zusammenpassen. Betrachten wir also die Gleichung

${}{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}\,,$

die zu

${}(az+b)c=a(cz+d)\,$

bzw. zu

${}{\left(ac-ac\right)}z=ad-bc\,$

äquivalent ist, die keine Lösung besitzt.

Zur bewiesenen Aussage