Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Lie-Gruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$ eine Untergruppe ist, ist die Restklassengruppe ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ eine kommutative Gruppe. Nach Fakt ist ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ auch eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Es ist also noch zu zeigen, dass die Gruppenaddition auf ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und das Negative holomorphe Abbildungen sind. Dies ergibt sich aber im Wesentlichen aus den kommutativen Diagrammen

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \times \pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma \times {\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\{\mathbb {C} }/\Gamma &{\stackrel {-}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }/\Gamma &\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Zur bewiesenen Aussage