Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich ${}0$ sind. Es ist generell

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist ${}f'(P)$.

Zur bewiesenen Aussage