Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen die Dreiecksungleichung, für die anderen Aussagen siehe Aufgabe. Zunächst gilt nach (7) für jede komplexe Zahl ${}u$ die Abschätzung ${}\operatorname {Re} \,{\left(u\right)}\leq \vert {u}\vert$. Daher ist

${}\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}\leq \vert {z}\vert \vert {w}\vert \,,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\vert {z+w}\vert ^{2}&=(z+w)({\overline {z}}+{\overline {w}})\\&=z{\overline {z}}+z{\overline {w}}+w{\overline {z}}+w{\overline {w}}\\&=\vert {z}\vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(z{\overline {w}}\right)}+\vert {w}\vert ^{2}\\&\leq \vert {z}\vert ^{2}+2\vert {z}\vert \vert {w}\vert +\vert {w}\vert ^{2}\\&=(\vert {z}\vert +\vert {w}\vert )^{2}.\end{aligned}}$

Durch Wurzelziehen ergibt sich die gewünschte Abschätzung.

Zur bewiesenen Aussage