Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial {\overline {z}}}}=c{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

   für eine Konstante  ${}c\in {\mathbb {C} }$. 

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}-f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen