Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt

Es sei  $G\subseteq ℂ$  offen und seien $f,g:G\to ℂ$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung $\frac{\partial }{\partial \bar{z}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   $\frac{\partial (cf)}{\partial \bar{z}}=c\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$

   für eine Konstante  $c\in ℂ$. 

2. Es ist

   $\frac{\partial (f+g)}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}.$

3. Es ist

   $\frac{\partial (fg)}{\partial \bar{z}}=f\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}+g\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}.$

4. Es ist

   $\frac{\partial \frac{f}{g}}{\partial \bar{z}}=\frac{g\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}-f\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}}{g^2}$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen