Komplexe Zahlen/Summe und Produkt ganzzahlig/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Es ist

(X - α) (X - β) = X^{2} - (α + β) X + α β = X^{2} + p X + q

mit ganz Zahlen

p = - α - β

und

q = α β .

Da $α$ und $β$ Nullstellen des quadratischen Polynoms sind, gilt nach Fakt ist

α, β = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} .

Wir setzen

r = p^{2} - 4 q \in ℤ

Es ist

\begin{matrix} α^{n} + β^{n} & = {(\frac{- p + \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})}^{n} + {(\frac{- p - \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})}^{n} \\ = \frac{\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- p)^{n - k} {\sqrt{p^{2} - 4 q}}^{k} + \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- p)^{n - k} (- \sqrt{p^{2} - 4 q})^{k}}{2^{n}} \\ = \frac{\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- p)^{k} {\sqrt{p^{2} - 4 q}}^{n - k} + \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- p)^{k} (- \sqrt{p^{2} - 4 q})^{n - k}}{2^{n}} \end{matrix}