Komplexe Zahlen/Summe und Produkt ganzzahlig/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}(X-\alpha )(X-\beta )=X^{2}-(\alpha +\beta )X+\alpha \beta =X^{2}+pX+q\,$

mit ganz Zahlen

${}p=-\alpha -\beta \,$

und

${}q=\alpha \beta \,.$

Da ${}\alpha$ und ${}\beta$ Nullstellen des quadratischen Polynoms sind, gilt nach Fakt ist

${}\alpha ,\beta ={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\,.$

Wir setzen

${}r=p^{2}-4q\in \mathbb {Z} \,$

Es ist

${}{\begin{aligned}\alpha ^{n}+\beta ^{n}&=\left({\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{n-k}{\sqrt {p^{2}-4q}}^{k}+\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{n-k}(-{\sqrt {p^{2}-4q}})^{k}}{2^{n}}}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{k}{\sqrt {p^{2}-4q}}^{n-k}+\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{k}(-{\sqrt {p^{2}-4q}})^{n-k}}{2^{n}}}\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe