Komplexer Torus/Standardgitter/Kreis/Einbettung nach R^2/Eigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten das Gitter ${}\Gamma =\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und den zugehörigen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \times \mathbb {R} {\mathrm {i} }/\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\cong S^{1}\times S^{1}$. Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den ${}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ ein.

1. Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi x+{\mathrm {i} }\sin 2\pi x,$

   vorliegt.

2. Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi y+{\mathrm {i} }\sin 2\pi y,$

   vorliegt.

3. Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil.

Eine Lösung erstellen