Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition

Skalarprodukt (komplexer Vektorraum)

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung

$V\times V⟶ℂ,(v,w)⟼⟨v,w⟩,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   $⟨{\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2,y⟩={\lambda }_1⟨x_1,y⟩+{\lambda }_2⟨x_2,y⟩$

   für alle  ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ$,   $x_1,x_2,y\in V$  und

   $⟨x,{\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2⟩=\overline{{\lambda }_1}⟨x,y_1⟩+\overline{{\lambda }_2}⟨x,y_2⟩$

   für alle  ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ$,   $x,y_1,y_2\in V$. 

2. Es ist

   $⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$

   für alle  $v,w\in V$. 

3. Es ist  $⟨v,v⟩\ge 0$  für alle  $v\in V$  und  $⟨v,v⟩=0$  genau dann, wenn  $v=0$  ist.