Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition

Skalarprodukt (komplexer Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle  ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$,   ${}x_{1},x_{2},y\in V$  und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle  ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {C} }$,   ${}x,y_{1},y_{2}\in V$. 

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle  ${}v,w\in V$. 

3. Es ist  ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$  für alle  ${}v\in V$  und  ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$  genau dann, wenn  ${}v=0$  ist.