Komplexes Quadrieren/Reelle Abbildung/Lokale Umkehrbarkeit/Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

kann man reell als

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

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