Konjugationsklasse/Matrix/F2/Beispiel

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${\mathrm{GL}}_2\left(K\right)$ auf ${\mathrm{Mat}}_2(K)$ durch Konjugation. Jede invertierbare Matrix hat die Determinante $1$ und für die Spur kommen nur die Werte $0$ und $1$ in Frage. Die Einheitsmatrix $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ hat die Spur $0$, ebenso die Matrix $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Diese beiden Matrizen liegen also unter der Quotientenabbildung $q$ in der gleichen Faser. Sie sind aber nicht zueinander konjugiert (dies gilt für jeden Körper der Charakteristik zwei).

Da ${\mathrm{Mat}}_2(K)$ endlich ist, kann man sich sofort eine polynomiale Abbildung ${\mathrm{Mat}}_2(K)\to {𝔸}_K^1$ hinschreiben, die auf der Einheitsmatrix den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat und daher nicht durch die obige Quotientenabbildung faktorisiert (eine solche Abbildung ist aber auf ${\mathrm{Mat}}_2(K)$ nicht invariant ausdehnbar).