Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus in einem Schritt zu konstruieren. Es sei der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden und , die über definiert sind. Es sei also und mit . Dann gehört der Schnittpunkt zu und seine Koordinaten gehören zu .
Sei eine über definierte Gerade und ein über definierter Kreis. Dann ist und mit . Wir können annehmen, dass ist, so dass die Geradengleichung auf die Form gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für über . Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von . Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für .
Seien nun und zwei über definierte verschiedene Kreise. Es seien und die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt

besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.

Zur bewiesenen Aussage