Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus $K^{2}$ in einem Schritt zu konstruieren. Es sei $P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ , die über $K$ definiert sind. Es sei also $G_{1} = {(x, y) ∣ a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0}$ und $G_{2} = {(x, y) ∣ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0}$ mit $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2} \in K$ . Dann gehört der Schnittpunkt zu $K^{2}$ und seine Koordinaten gehören zu $K$ .
Es sei $G$ eine über $K$ definierte Gerade und $C$ ein über $K$ definierter Kreis. Dann ist $G = {(x, y) ∣ a x + b y + c = 0}$ und $C = {(x, y) ∣ (x - r)^{2} + (y - s)^{2} = d}$ mit $a, b, c, r, s, d \in K$ . Wir können annehmen, dass $b \neq 0$ ist, sodass die Geradengleichung auf die Form $y = u x + v$ gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für $x$ über $K$ . Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von $K$ . Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für $y$ .
Es seien nun $C_{1}$ und $C_{2}$ zwei über $K$ definierte verschiedene Kreise. Es seien $C_{1} = {(x, y) ∣ (x - r_{1})^{2} + (y - s_{1})^{2} - a_{1} = 0}$ und $C_{2} = {(x, y) ∣ (x - r_{2})^{2} + (y - s_{2})^{2} - a_{2} = 0}$ die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt

x (- 2 r_{1} + 2 r_{2}) + r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + y (- 2 s_{1} + 2 s_{2}) + s_{1}^{2} - s_{2}^{2} - a_{1} + a_{2} = 0

besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.

Zur bewiesenen Aussage