Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen die drei Möglichkeiten durch, einen Punkt aus ${}K^{2}$ in einem Schritt zu konstruieren. Es sei ${}P$ der Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$, die über ${}K$ definiert sind. Es sei also ${}G_{1}={\left\{(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\right\}}$ und ${}G_{2}={\left\{(x,y)\mid a_{2}x+b_{2}d+c_{2}=0\right\}}$ mit ${}a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\in K$. Dann gehört der Schnittpunkt zu ${}K^{2}$ und seine Koordinaten gehören zu ${}K$.
Es sei ${}G$ eine über ${}K$ definierte Gerade und ${}C$ ein über ${}K$ definierter Kreis. Dann ist ${}G={\left\{(x,y)\mid ax+by+c=0\right\}}$ und ${}C={\left\{(x,y)\mid (x-r)^{2}+(y-s)^{2}=d\right\}}$ mit ${}a,b,c,r,s,d\in K$. Wir können annehmen, dass ${}b\neq 0$ ist, sodass die Geradengleichung auf die Form ${}y=ux+v$ gebracht werden kann. Einsetzen von dieser Gleichung in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung für ${}x$ über ${}K$. Die reellen Koordinaten der (eventuell komplexen) Lösungen davon liegen in einer quadratischen Erweiterung von ${}K$. Das gilt dann auch für die zugehörigen Lösungen für ${}y$.
Es seien nun ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ zwei über ${}K$ definierte verschiedene Kreise. Es seien ${}C_{1}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{1})^{2}+(y-s_{1})^{2}-a_{1}=0\right\}}$ und ${}C_{2}={\left\{(x,y)\mid (x-r_{2})^{2}+(y-s_{2})^{2}-a_{2}=0\right\}}$ die Kreisgleichungen. Ein Schnittpunkt der beiden Kreise muss auch jede Linearkombination der beiden Gleichungen erfüllen. Wir betrachten die Differenz der beiden Gleichungen, die die Gestalt

${}x(-2r_{1}+2r_{2})+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+y(-2s_{1}+2s_{2})+s_{1}^{2}-s_{2}^{2}-a_{1}+a_{2}=0\,$

besitzt. D.h. dies ist eine Geradengleichung, und die Schnittpunkte der beiden Kreise stimmen mit den Schnittpunkten eines Kreises mit dieser Geraden überein. Wir sind also wieder im zweiten Fall.

Zur bewiesenen Aussage