Konstruktion/Zirkel und Lineal/R ohne Q/Aufgabe/Lösung

Die ${}x-$Achse ist als Gerade aus der Startmenge konstruierbar. Die Zahlen ${}{\sqrt {2}}$ und ${}2{\sqrt {2}}$ gehören zur Startmenge. Somit kann man den Nullpunkt ${}(0,0)$ konstruieren, indem man den Kreis um ${}({\sqrt {2}},0)$ durch ${}(2{\sqrt {2}},0)$ schlägt und den Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse nimmt. Somit kann man auch die ${}y$-Achse gemäß Fakt  (2) konstruieren. Auf der ${}y$-Achse kann man auch den Punkt ${}(0,{\sqrt {2}})$ konstruieren. Der Abstand von ${}({\sqrt {2}},0)$ zu ${}(0,{\sqrt {2}})$ beträgt nach dem Satz des Pythagoras ${}2$. Da Parallelogramme konstruierbar sind, ist somit auch die Zahl ${}2$ (also der Punkt ${}(2,0)$) konstruierbar. Damit sind aber überhaupt alle rationalen Zahlen konstruierbar und somit sind alle reellen Zahlen aus der gegebenen Startmenge konstruierbar. Diese sind auf die ${}y$-Achse übertragbar und daher sind gemäß Fakt

alle Punkte der Ebene konstruierbar.

Zur gelösten Aufgabe