Kontrahierbarer Raum/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

die Kontraktion des topologischen Raumes ${}X$ auf den Punkt ${}P\in X$ und es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$

$[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und dem konstanten Weg ${}P$ ergibt. Dies folgt aus

${}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$ und

${}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$. Dies bedeutet, dass ${}\gamma$ nullhomotop ist.

Zur bewiesenen Aussage