Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei  $b_1=1$,  wir schreiben

$G=S+S^{2}H(S)$

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe  $H=H(S)$.  Es sei  $s\in {ℝ}_{+}$  derart, dass

$\Vert H{\Vert }_s=N<\mathrm{\infty }$

ist.

Es sei nun  $F={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n$  die formale Potenzreihe aus Fakt mit  $F(G)=S$  und  $G(F)=T$.  Wir müssen zeigen, dass $F$ ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir $F$ in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen $F_n$, die durch  $F_1=T$  und

$F_{n+1}=T-F_n^2\cdot H(F_n)$

gegeben sind. Wir setzen

$t=\frac{M}{2}=\frac{\min (s,\frac{1}{2N})}{2}$

und behaupten zunächst, dass die $t$-Norm der $F_n$ durch $M$ beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für  $n=1$  ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von Fakt und dem Beweis zu Fakt,

$\begin{array}{cc}\Vert F_{n+1}{\Vert }_t& \le t+\Vert F_n{\Vert }_t^2\cdot \Vert H(F_n){\Vert }_t\\ & \le t+\Vert F_n{\Vert }_t^2\cdot \Vert H{\Vert }_{\Vert F_n{\Vert }_t}\\ & \le t+\Vert F_n{\Vert }_t^2\cdot \Vert H{\Vert }_M\\ & \le \frac{M}{2}+M^2\cdot \Vert H{\Vert }_s\\ & \le \frac{M}{2}+M^{2}N\\ & \le M.\end{array}$

Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich $T^n$ von $F_n$ mit den Koeffizienten von $F$ übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung

$F_{n+1}=T-F_n^2\cdot H(F_n),$

die zeigt, dass die Koeffizienten von $F_{n+1}$ bis $T^{n+1}$ nur von den Koeffizienten von $F_n$ bis $T^n$ und von denen von $H$ abhängen, und andererseits daraus, dass $F$ für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also

$F=T-F^2\cdot H(F)$

gilt, siehe Aufgabe. Mit Aufgabe folgt dann auch  $\Vert F{\Vert }_t\le M$,  also die Konvergenz von $F$.

Da die formale Umkehrreihe  $F\circ G=S$  und  $G\circ F=T$  erfüllt, folgt mit Fakt, dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.

Zur bewiesenen Aussage