Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}b_{1}=1$, wir schreiben

${}G=S+S^{2}H(S)\,$

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe ${}H=H(S)$. Es sei ${}s\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass

${}\Vert {H}\Vert _{s}=N<\infty \,$

ist.

Es sei nun ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ die formale Potenzreihe aus Fakt mit ${}F(G)=S$ und ${}G(F)=T$. Wir müssen zeigen, dass ${}F$ ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir ${}F$ in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen ${}F_{n}$, die durch ${}F_{1}=T$ und

${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,$

gegeben sind. Wir setzen

${}t={\frac {M}{2}}={\frac {\operatorname {min} \left(s,\,{\frac {1}{2N}}\right)}{2}}\,$

und behaupten zunächst, dass die ${}t$-Norm der ${}F_{n}$ durch ${}M$ beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für ${}n=1$ ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von Fakt und dem Beweis zu Fakt,

${}{\begin{aligned}\Vert {F_{n+1}}\Vert _{t}&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H(F_{n})}\Vert _{t}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{\Vert {F_{n}}\Vert _{t}}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{M}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{s}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}N\\&\leq M.\end{aligned}}$

Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich ${}T^{n}$ von ${}F_{n}$ mit den Koeffizienten von ${}F$ übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung

${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,,$

die zeigt, dass die Koeffizienten von ${}F_{n+1}$ bis ${}T^{n+1}$ nur von den Koeffizienten von ${}F_{n}$ bis ${}T^{n}$ und von denen von ${}H$ abhängen, und andererseits daraus, dass ${}F$ für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also

${}F=T-F^{2}\cdot H(F)\,$

gilt, siehe Aufgabe. Mit Aufgabe folgt dann auch ${}\Vert {F}\Vert _{t}\leq M$, also die Konvergenz von ${}F$.

Da die formale Umkehrreihe ${}F\circ G=S$ und ${}G\circ F=T$ erfüllt, folgt mit Fakt, dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.

Zur bewiesenen Aussage