Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Beispiel

Für die reelle Kosinusfunktion ${}\cos \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ erhält man aus Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt (bzw. direkt mit Fakt  (6)) für jedes ${}m$ die Abschätzungen

${}\vert {\cos x-\sum _{i=0}^{m}{\frac {(-1)^{i}x^{2i}}{(2i)!}}}\vert \leq {\frac {\vert {x}\vert ^{2m+1}}{(2m+1)!}}\,.$

Damit kann man den Funktionsverlauf des Kosinus beliebig gut approximieren und auch die Zahl ${}\pi$ beliebig genau bestimmen.