Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Pi halbe/Abschätzung mit drei Summanden/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\left({\frac {5}{3}}\right)^{5}}{5!}}&={\frac {5^{5}}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 3^{5}}}\\&={\frac {5^{4}}{8\cdot 3^{6}}}\\&={\frac {625}{8\cdot 729}}\\&={\frac {625}{5832}}\\&={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {9\cdot 625}{5832}}\\&={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {5625}{5832}}\\&\leq {\frac {1}{9}}.\end{aligned}}$

   Also ist mit Beispiel

   ${}\vert {\cos x-(1-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4})}\vert \leq {\frac {1}{9}}\,.$

   Das vierte Taylor-Polynom

   ${}P(x)=1-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}\,$

   liefert also eine Approximation wie gesucht.

2. Es ist

   ${}P{\left({\frac {4}{3}}\right)}=1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{2}+{\frac {1}{24}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{4}={\frac {1944-1728+256}{1944}}={\frac {472}{1944}}\,.$

   Das ist positiv und deutlich ${}\geq {\frac {1}{9}}$, deshalb ist mit dem ersten Teil auch

   ${}\cos \left({\frac {4}{3}}\right)>0\,$

   und damit ist

   ${}{\frac {\pi }{2}}>{\frac {4}{3}}\,.$

3. Es ist

   ${}P{\left({\frac {5}{3}}\right)}=1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {5}{3}}\right)^{2}+{\frac {1}{24}}\left({\frac {5}{3}}\right)^{4}={\frac {1944-2700+625}{1944}}={\frac {-131}{1944}}\,.$

   Dies ist negativ, aber ${}\geq -{\frac {1}{9}}$, mit der Abschätzung aus Teil (1) kann man also nicht zeigen, dass ${}\cos \left({\frac {5}{3}}\right)$ negativ ist und damit auch nicht, dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}\leq {\frac {5}{3}}\,$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe