Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetige Umrundung/Auswertung/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Die Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,{\mathbb {K} })$ sei auf dem Durchschnitt durch

${}f_{12}={\begin{cases}a{\text{ auf }}S\,,\\b{\text{ auf }}T\,,\end{cases}}\,$

gegeben. Für den Weg ${}\gamma$, der den Kreis einfach durchläuft, ist ${}V_{1}=U_{1}$, ${}V_{2}=U_{2}$, ${}V_{3}=U_{1}$ eine topologische Kette für den Weg. Beim Übergang von ${}V_{1}$ nach ${}V_{2}$ werde ${}S$ und beim Übergang von ${}V_{2}$ nach ${}V_{3}$ werde ${}T$ durchlaufen. Die Auswertung ist dann ${}-a+b$, das Minuszeichen vorne beruht darauf, dass man ${}f_{21}$ nimmt, unten hinten muss man beim Übergang von ${}V_{2}=U_{2}$ nach ${}V_{3}=U_{1}$ die Funktion ${}f_{32}=f_{12}$ nehmen.