Kreis/Punkt/Abstand/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt ${}Q={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von ${}K$. Es sei ${}R$ ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte ${}0,Q,P$ liegen auf einer Geraden, und da ${}P$ außerhalb des Kreises liegt, ist

${}d(0,P)=d(0,Q)+d(Q,P)\,.$

Aufgrund der Dreiecksungleichung ist

${}d(0,R)+d(R,P)\geq d(0,P)\,,$

und hierbei gilt sogar ${}>$, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (siehe Aufgabe). Somit ist für ${}R\neq Q$

${}d(R,P)>d(Q,P)\,$

(wenn ${}R=-Q$ der gegenüberliegende Punkt ist, so ist der Abstand erst recht größer).

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