Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$. 
2. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert =0$  genau dann, wenn  ${}v=0$  ist.
3. Für  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  und  ${}v\in V$  gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für  ${}v,w\in V$  gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen