Als Beispiel zu
Bemerkung
betrachten wir den
Einheitskreis
als
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
und das konstante
Vektorfeld
auf
, das also jedem Punkt
den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist
, die
auf
und
auf
abbildet. Die auf
zurückgezogene Differentialform
wird ebenfalls mit
bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen
Tangentialraum
.
Das zu dieser Differentialform auf
gehörige Vektorfeld
berechnet sich
nach Fakt
folgendermaßen: Für jeden Punkt
und jeden Vektor
muss
-
![{\displaystyle {}\left\langle H(P),v\right\rangle =dx(P)(v)=v_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1563c4010c6c36eba1ecf90f5bc785081ff0b3a9)
gelten, wobei
sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von
aufgespannt. Daher ist
und
-
![{\displaystyle {}H(P)=c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b47f7b38f76eb3b85925ecb98cfbd47e97ec54e)
für gewisse
.
Aus der Bedingung
-
![{\displaystyle {}\left\langle H(P),v\right\rangle =\left\langle c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}},d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =cd=-bd\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52607d05fe555e14a0c975033a363affc482a7e7)
folgt direkt
.
Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach
-
![{\displaystyle {}H{\left({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)}=-b{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723e54e9e9240cdba04c5836624d33ec8fef2b16)