Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel

Als Beispiel zu Bemerkung betrachten wir den Einheitskreis  ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und das konstante Vektorfeld ${}e_{1}$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$, das also jedem Punkt  ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$  den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist ${}dx$, die ${}e_{1}$ auf ${}1$ und ${}e_{2}$ auf ${}0$ abbildet. Die auf ${}S^{1}$ zurückgezogene Differentialform wird ebenfalls mit ${}dx$ bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen Tangentialraum  ${}T_{P}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.  Das zu dieser Differentialform auf ${}S^{1}$ gehörige Vektorfeld ${}H$ berechnet sich nach Fakt folgendermaßen: Für jeden Punkt  ${}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in S^{1}$  und jeden Vektor  ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\in T_{P}S^{1}$  muss

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =dx(P)(v)=v_{1}\,$

gelten, wobei  ${}H(P)\in T_{P}S^{1}$  sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von ${}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Daher ist  ${}v=d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$  und

${}H(P)=c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,$

für gewisse  ${}d,c\in \mathbb {R}$.  Aus der Bedingung

${}\left\langle H(P),v\right\rangle =\left\langle c{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}},d{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =cd=-bd\,$

folgt direkt  ${}c=-b$.  Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach

${}H{\left({\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)}=-b{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}\,.$