Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt

Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring

Es seien ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für ${}R$ auch ${}\infty$ erlaubt ist), ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

${}U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

Dann gibt es eine auf ${}U$ konvergente Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort ${}f$ darstellt.

Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$

wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung von ${}a$ im Kreisring ${}U$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen